Vektorrechnung, kann hier mal jemand drüber gucken?

[Thomebau]

Hi,
ich verzweifle grade an dieser Aufgabe hier. Ich soll den Abstand von Punkt P zur Geraden g ermitteln. Ich komme aber nie auf die vorgegebene Lösung. Hab das jetzt schon dreimal gerechnet und knapp 2h vergeudet
Wäre nett wenn jemand mal drüber gucken könnte. Ich finde den Fehler nicht. Die Vorgegebenen Lösungen stehen unten.

Kurz zur normalen Vorgehensweise:
1. Hilfsebene anlegen (mit Richtungsvektor (u) der Geraden als Normalenvektor der Ebene)
2. Schnittpunkt zwischen Gerade und Hilfsebene berechnen (zuerst g in e einsetzen und nach Lambda auflösen, dann Lambda in g einsetzen)
3. Abstand zwischen dem Schnittpunkt der Geraden und der Hilfsebene (hier L = Lotfußpunkt) und P berechnen (Wurzel von x[SUB]1[/SUB][SUP]2[/SUP]+x[SUB]2[/SUB][SUP]2[/SUP]+x[SUB]3[/SUB][SUP]2[/SUP] des Verbindungsvektors PL (l-p))

Das komische ist der Lambda Wert, da muss der Fehler sein, denn mit diesem gebrochenen Lambda Wert kann man niemals auf die geraden Ergebnisse der vorgegebenen Lösung kommen.

​

 

[Adun]

du brauchst den Einheitsvektor.. aber dann weiß ich nimmer wieter :huh: müsste selber mal schnell nachschauen

Einheitsvektor = n/|n|

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/abstand-punkt-gerade.html

 

[Thomebau]

Hä? is das nicht wurscht ob der Normalenvektor der Ebene jetzt nach oben oder nach unten zeigt? Ebene ist doch Ebene da gibts kein oben oder unten?

 

[Adun]

ich denke du musst dann über den Einheitsvektor (länge 1) die genaue länge des Vektors zur Ebene berechnen

ach ist ja wurscht, ich weiß es gerade nicht, also lass dich lieber nicht verwirren

aber hier scheint was gescheites zu stehen
klick mich

 

[MuellerLinden]

Bei 2. muss es wohl heißen "-3 + Lambda ..." statt "-3 - Lambda ..."

 

[oezix]

hier stand vermutlich was falsches

 

[ullrik]

hm, ich komme auf dein vorgegebenes d, allerdings mit anderem rechenweg

d = ( |richtungsvektor gerade x (ortsvektor punkt - stützvektor gerade)| )/(|richtungsvektor gerade|)

"Was" für Mathe ist das? Ich komm mit diesem Hilfsebenenzeugs gerade gar nicht klar -.-

 

[Evilandi666]

Edit: Ist ja nun gelöst. :whistling:

 

[PeterWa]

Bezeichnungen: p =(1,1,0)*, a=(3,5,3)*, b=(-1,1,3)*, x = a + L b ; L = skalar lambda

nach der Aufgabenstellung soll x - p senkrecht zu b sein, also das Skalarprodukt (x-p) b = (a+Lb-p) b =0 sein; Distributivgesetz anwenden und
ausmultiplizieren führt auf 11 + L 11 =0 also L =-1, wieder in die Geradengleichung eingesetzt, hast du den Lotfusspunkt (4,4,0)*

 

[PeterWa]

vorgegebener Lösungsweg:
alle Punkte y mit by= C liegen auf einer Ebene senkrecht zu b, der Skalar C wird dadurch festgelegt, dass p auf dieser Ebene liegt, somit gilt bp = C = 0; nun sucht man den Punkt, der sowohl auf der Ebene als auch auf der Geraden liegt: b (a + Lb) = 0; Distributivgesetz anwenden und ausmultiplizieren führt wieder auf L = -1

Edith sagt: eigentlich ist der Rechenaufwand ziemlich gering

 

[tpfrob]

Hallo,

hier nochmal grafisch.

 

[Thomebau]

Also der Reihe nach...
@MuellerLinden

Bei 2. muss es wohl heißen "-3 + Lambda ..." statt "-3 - Lambda ..."

ich habe aber doch (-1*3)+(Lambda*(-1)) = -3-Lambda ? (jetzt mal nur für X[SUB]1[/SUB] aus n gerechnet)

@ullrik

d = ( |richtungsvektor gerade x (ortsvektor punkt - stützvektor gerade)| )/(|richtungsvektor gerade|)

Also (|u[SUB]g[/SUB]X(p-a[SUB]g[/SUB])|/(|u[SUB]g[/SUB]|) ?
Wie kommst du denn auf die Formel? Klingt erstmal logisch.

@PeterWa
Erst mal für mich ob ich das richtig verstanden habe:

nach der Aufgabenstellung soll x - p senkrecht zu b sein,

also die Gerade (x = a + L b) kann doch gar nicht zu einem Punkt (p =(1,1,0)) senkrecht stehen? Höchstens zum Ortsvektor, aber das ergibt keinen Sinn.

nach der Aufgabenstellung

Die Aufgabenstellung ist nur "wie ist der Abstand von Punkt X zu Gerade Y)

@ullrik

"Was" für Mathe ist das? Ich komm mit diesem Hilfsebenenzeugs gerade gar nicht klar -.-

Die Hilfsebene e hat den Richtungsvektor u der Geraden als Normalenvektor n (der Normalenvektor steht immer senkrecht zu einer Ebene), daher steht die Ebene senkrecht zur Geraden.
Eine Gerade lässt sich nämlich als n°(x-a)=0 beschreiben. bzw. gekürzt nachher n°x-c (c=n°a). Wobei a der Ortsvektor des Aufpunktes ist.
Und wenn man denn Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden berechnet hat, hat man den sogenannten Lotfußpunkt (L)

Ich hab das ganze mal versucht grafisch zu verdeutlichen ^^


@PeterWa:
Ungefähr ab da komm ich nicht mehr mit -_-

also das Skalarprodukt (x-p) b = (a+Lb-p) b =0 sein

EDIT:
@tpfrob:
die III verstehe ich nicht (könnte auch daran liegen dass ich sie nicht lesen kann). Bzw. ich verstehe nicht wie du auf die III kommst. Daher kann ich nicht so ganz nachvollziehen wie du auf L kommst.

Das komische an der Sache ist, dass ich bereits etliche Aufgaben des selben Typs gerechnet habe, die auch wunderbar auf genau diese Weise zu lösen waren. Nur hier verstehe ich nicht warum es nicht klappt.
Ein Alternativer, schnellerer Lösungsweg mag interessant sein, aber ich muss es leider in der Prüfung genau so vorrechnen.

 

[tuxor1337]

Also der Reihe nach...
@MuellerLinden

ich habe aber doch (-1*3)+(Lambda*(-1)) = -3-Lambda ? (jetzt mal nur für X[SUB]1[/SUB] aus n gerechnet)

Darüber musst du wohl nochmal nachdenken (distributivität bzw. bilinearität des skalarprodukts). solche rechenregeln solltest du wirklich verinnerlichen, sonst kommen da ganz ganz blöde rechenfehler heraus...

In der gleichen Zeile ist auch noch ein fehler, der genau auf dem gleichen denkfehler beruht (am ende muss es 9*lambda statt 3*lambda heißen). danach geht die rechnung durch.

Was ist das für eine Prüfung, wo du das "genau so" vorrechnen musst? Klingt nicht besonders mathematisch ...

 

[PeterWa]

Erst mal für mich ob ich das richtig verstanden habe:
nach der Aufgabenstellung soll x - p senkrecht zu b sein,
also die Gerade (x = a + L b) kann doch gar nicht zu einem Punkt (p =(1,1,0)) senkrecht stehen? Höchstens zum Ortsvektor, aber das ergibt keinen Sinn.

du nimmst einen Punkt x auf der Geraden und ziehst einen Vektor p-x von x nach p; p-x muss dann senkrecht zu b stehen, was dann eine zusätzliche Bedingung ergibt

 

[Thomebau]

Darüber musst du wohl nochmal nachdenken (distributivität bzw. bilinearität des skalarprodukts). solche rechenregeln solltest du wirklich verinnerlichen, sonst kommen da ganz ganz blöde rechenfehler heraus...

In der gleichen Zeile ist auch noch ein fehler, der genau auf dem gleichen denkfehler beruht (am ende muss es 9*lambda statt 3*lambda heißen). danach geht die rechnung durch.

Ach so ein Mist -_-
Ist ja nicht so als würde ich das Distributivgesetz vorher richtig benutzen... (bei der Umwandlung von n°(x-a)=0 <=> n°x-c (wobei c=n°a))
... kommt davon wenn man nicht konzentriert ist.

a°(b+c)=a°b+a°c

du nimmst einen Punkt x auf der Geraden und ziehst einen Vektor p-x von x nach p; p-x muss dann senkrecht zu b stehen, was dann eine zusätzliche Bedingung ergibt

Ja aber den Punkt x (der Lotfußpunkt) bekommt man doch nur durch die Schnittstelle von Hilfsebene (Ebene e senkrecht zu b mit P Element e) mit der Geraden oder?

 

[ullrik]

Wie kommst du denn auf die Formel? Klingt erstmal logisch.

Repetitorium Höhere Mathematik. Bin in der Oberstufe an Mathe am Ende fast gescheitert, jetzt läufts relativ gut

 

[PeterWa]

Ungefähr ab da komm ich nicht mehr mit -_-
also das Skalarprodukt (x-p) b = (a+Lb-p) b =0 sein

x ist ein beliebiger Punkt auf der Geraden, für den gesuchten Lotfusspunkt muss der Vektor x-p senkrecht auf der Geraden stehen, also senkrecht zum Richtungsvektor b sein; senkrecht heißt dann, dass das Skalarprodukt (x-p)°b = 0 ist

 

[tpfrob]

Hallo,

ich habe II mit s multipliziert (Skalarprodukt) und null gesetzt. Denn wenn das Skalarprodukt aus l und s gleich null ist, dann sind l und s senkrecht zueinander. Wenn l und s senkrecht zueinander sind, dann ist der Betrag von l die Entfernung zwischen Gerade g und Punkt P.

 

[JNS-K]

Edith: Lösungen müssen nicht immer richtig sein ... insbesondere wenn sie aus einem Lehrbuch stammen. Hab es jetzt extra nochmal mit dem TI Inspire nachgerechnet und der kommt auf die gleiche Lösung. Im übrigen ist die o.g. Formel die einfachste Lösungsmöglichkeit für den Abstand Punkt - Gerade. Daher einprägen es spart Dir bei der Prüfung ne Menge Zeit.

VG JNS