Für Mathe-Asse !! Jetzt: Irrationale Gleichung (s.u.)

[Pommbaer]

Ich habe hier ne Goniometrische Gleichung. Die Lösung hatte ich schnell, allerdings ist nur eine Lösung und ich würde gerne wissen nach welchem Schema ich auf die weiteren komme:

2 sin (x) * tan (x) = 6 cos (x) -> tan (x) auflösen in sin (x) / cos (x)

2 sin (x) * sin (x) / cos (x) = 6 cos (x) -> beide Seiten mit cos (x) multiplizieren

2 sin² (x) = 6 cos² (x) -> durch zwei Teilen

sin² (x) = 3 cos² (x) -> sin (x) umwandeln in Wurzel(1-cos² (x))

1 - cos² (x) = 3 cos² (x) -> cos² (x) addieren

1= 4 cos² (x)

x = arccos ( Wurzel ( 1/4 )) = 60

Soweit meine Lösung. Ich weiss, dass in diesem Fall auch alle 60 + k*Pi die richtige Lösung darstellen.
die Lösungsvorgabe sagt jedoch aus, dass auch alle 120 + k*Pi die richtige Lösung ergeben. k natürlich nur aus der Menge der reellen Zahlen.
der Weg zu dieser Erkenntnis ist mir noch schleierhaft. Habe die Cosinuskurve aufgezeichnet aber kann keine "Regel" erkennen wie ich von meiner Lösung auf die zweite LÖsung komme.

ich denke hier wird der eine oder andere sein, der mir da weiterhelfen kann.

 

[Evilandi666]

Maple gibt für die usprl. Glechung auch nur 27 als Lösiung aus!

 

[Pommbaer]

ist Maple unfehlbar?

 

[Evilandi666]

Glaubst du dein Taschenrechner ist unfehlbar ?

Ich glaube einfach das ist Definitionssache.

 

[Schnitzel2k8]

Ohne weitere Quelle sehe ich das so, dass du Position 1 vertrittst, während ich eher die Position 2 vertrete. jetzt wäre meine Frage: Wer legt es fest?

Spielen wirs mal durch. Angenommen aus x^(1/3)=-1/2 folg x=-1/8

Jetzt möchte ich aus x=-1/8 die dritte Wurzel ziehen:

x^(1/3)=(-1/8)^(1/3)

rechte Seite schreibe ich entsprchend Rechenregeln für Wurzel um:

(-1/8)^(1/3)=(1/8)^(1/3)*(-1)^(1/3)

Aus 1/8 kann ich die dritte Wurzel ziehen, also erhalte ich

1/2 *(-1)^(1/3)

Was ist nun die dritte Wurzel aus -1? Damit ich konsistent mit der Aufgabenstellung bin, muß es -1 sein.

So, testen wir mal die Konsistenz dieser Definition:

-1=(-1)^(1/3)=((-1)^2)^(1/6), d.h. ich quadriere und ziehe demensprechend die sechste Wurzel

(-1)^2 ist aber =1 und somit

((-1)^2)^(1/6)=(1)^(1/6)=1

Somit habe ich 1=-1

Wo war nun das Problem?

Mein Umschreiben mit quadrieren und sechster Wurzel ziehen führt zum Konsistenzproblem bei Wurzeln von negativen Zahlen. Bei positiven passiert das nicht.

 

[Evilandi666]

Sechste Wurzel aus negativen Zahlen ist auch nicht erlaubt, falls du auch mal den Wikilink gelesen hast.

3,5,7,9,usw. -te Wrzel wäre i.O. nach der Meinung auf Wikipedia. Aber keine "geradzahligen" Wurzeln aus negativen Zahlen.

Daher musst du deinen Beweis wohl umformulieren.

 

[Schnitzel2k8]

Sechste Wurzel aus negativen Zahlen ist auch nicht erlaubt, falls du auch mal den Wikilink gelesen hast.

3,5,7,9,usw. -te Wrzel wäre i.O. nach der Meinung auf Wikipedia. Aber keine "geradzahligen" Wurzeln aus negativen Zahlen.

Daher musst du deinen Beweis wohl umformulieren.

Ich ziehe ja die sechste Wurzel aus (-1)^2 und das ist bekanntermaßen eine positive Zahl. Mein "Beweis" ist ja von dem Wikipediaartikel inspiriert, der das gleiche tut um den Wiederspruch für -2=(-8)^(1/3)=... zu zeigen.

 

[Schnitzel2k8]

Das würde aber in diesem Fall bedeuten, dass mein Matheprofessor ( der eher einer Maschine gleicht ) falsch liegt, da er -1/8x als Lösung angibt.
Dies ist wohlgemerkt eine Klausuraufgabe, bei der es keine volle Punktzahl gab/gibt wenn die Lösung unvollständig ist. Hätte es nach der Klausur Einwände gegeben, wäre die Lösung entsprechend abgeändert oder es zumindest vermerkt.
Das ist was mich in diesem Zusammenhang stutzig macht.

Sorry, daß ich vorher noch nicht drauf eingeganben bin. Nehmen wir nochmal das -1/8 als Lösung von

2 x^(2/3)-5 x^(1/3)==3

Setze x=-1/8 ein:

2*(-1/8)^(2/3)-5(-1/8)^(1/3)=2*(1/64)^(1/3)-5*1/2*(-1)^(1/3)=2*1/4 - 5/2*(-1)^(1/3)=1/2-5/2*(-1)^(1/3)

Hier gilt für mich, daß der letzte Schritt genau dann das Ergebnis 3 liefert, wenn (-1)^(1/3)=-1 ist. Das ist meiner Meinung nach nicht gegeben. Manche Leute scheinen es wohl zu nehmen, aber wie oben schon geschrieben führt das für mich zu einer Inkonsistenz. Der Prof kann natürlich im Zweifelsfalle argumentieren, daß er nur eine Diskussion der scheinbaren zweiten Lösung wollte, sprich man sollte sagen, daß diese die Gleichung nicht löst. Bin leider sehr in eile, aber vielleicht hilfts ja.

 

[Pommbaer]

Um das ganze nochmal mit einer komplexen Zahl zu betrachten.

Da steht bei uns sogar im Skript bzw der Mitschrift von der Tafel:

x² + 9 = 0 als Beispiel liefert:

x1,x2 = Wurzel(-9) = +/- 3j

Ich ziehe ja die sechste Wurzel aus (-1)^2 und das ist bekanntermaßen eine positive Zahl.

Ich würde in Frage stellen, ob man das überhaupt als Argument zulässig wäre.
Denn ich kann jede negative Zahl Quadrieren und erhalte dann nach der Wurzel eine positive Zahl. Sobald es um einen geraden Exponenten geht ist das Ergebnis immer positiv.

 

[Schnitzel2k8]

Um das ganze nochmal mit einer komplexen Zahl zu betrachten.

Da steht bei uns sogar im Skript bzw der Mitschrift von der Tafel:

x² + 9 = 0 als Beispiel liefert:

x1,x2 = Wurzel(-9) = +/- 3j

Hier kannst du ja einfach die Gegenprobe machen (+/- 3i)²=9*i²=-9, also vollständig konsistent. Der Unterschied zur ursprünglichen Fragestellung läßt sich für mich in Worten am besten darstellen:

Hier: Finde x, welches quadriert =-9
Ursprünglich: Finde x, dessen dritte Wurzel -1/2 ist.

Für mich sind das unterschiedliche Fragestellungen. Bei der Wurzelgleichung startet man in meinen Augen mit einer nichtgültigen Relation. Ich geb dir mal ein anderes Beispiel:

x/0=5 , multipliziere beide Seiten mit 0

x=0*5=0.

Natürlich ist hier offensichtlich meine ursprüngliche Gleichung kompletter Blödsinn, da eine Division durch 0 nicht definiert ist.


Im übrigen war ich auch manchmal sprachlich nicht sehr exakt was den Begriff "Wurzel aus negativen Zahlen" betrifft. Ich hoffe jedoch, daß aus dem Kontext klar wird, wie ich es meine.

Ich ziehe ja die sechste Wurzel aus (-1)^2 und das ist bekanntermaßen eine positive Zahl.

Ich würde in Frage stellen, ob man das überhaupt als Argument zulässig wäre.
Denn ich kann jede negative Zahl Quadrieren und erhalte dann nach der Wurzel eine positive Zahl. Sobald es um einen geraden Exponenten geht ist das Ergebnis immer positiv.

Quadrieren und Wurzelziehen sind die jeweiligen Umkehroperationen, so wie + und - und * und /. Allerdings, und genau das ist mein Punkt: Wurzelziehen ist für Gleichungen vom Typ x^(1/3)=-1/2 nur für positive Zahlen sinnvoll definiert! Ich hab dir ja hier einen Widerspruchsbeweis vorgelegt. Diese Rechenregel gilt bei positiven Zahlen ohne Probleme. Bei negativen Zahlen stößt man auf Probleme. In dem Wiederspruchsbeweis hab ich aber ja implizit angenommen, man dürfe einfach so rechnen, daß x^(1/3)=-1/2 die Lösung -1/8 besitzt. Dies führt aber zu dem von mir gezeigten Widerspruch. wenn man die sonstigen Rechenregeln für Wurzeln als gültig erachtet. Man kann natürlich noch weitergehen und entsprechende Regeln aufstellen um an dieser Stelle widerspruchsfrei zu bleiben. Allerdings kenne ich kein vollständiges, geschlossenes Konzept, welches dann an anderen Stellen widerspruchsfrei bleibt.

Ich muß zugeben, daß ich mittlerweile doch tiefer hier eingetaucht bin, als notwendig ist. Hab aber mittlerweile an der Problematik Spaß gefunden
Habs auch mit einigen Kollegen besprochen. Kaum einem war die Problematik mit Wurzeln und negativen Zahlen wirklich präsent. Insofern mußt du dir als Student da keinen Kopf drum machen.

 

[Pommbaer]

Ich werde mal meinen Prof drauf ansprechen, sofern der morgen Zeit dafür hat. Schreibe morgen eine Mathe-Klausur bei dem, aber gleich danach schreiben schon die nächsten - ich denke er wird in Eile sein =)

 

[Schnitzel2k8]

Ich zeige dir mal noch einen anderen Aspekt, eine andere herangehensweise, welche für mich das Problem bestätigt aber für andere evtl. als Argument dient, daß alles in Ordnung ist. Ich hoffe du bist mit der Euler-Formel vertraut:

e^(i*x)=cos(x)+i sin(x) (kann man z.B. mittels Taylorrreihenentwicklung zeigen)

Diese Formel ist allerdings immer nur bis auf Vielfache von 2pi eindeutig, d.h. e^(i*(2*pi*k+x)=cos(x)+i sin(x) (k ist ganze Zahl) ,d.h. ich kann immer 2*pi*k beliebig hinzuaddieren oder wegnehmen ohne einen Fehler zu machen.

Damit kann ich -1 als e^(-i*pi) schreiben. Somit lautet ursprüngliche Aufgabenstellung:

x^(1/3)=1/2*e^(-i*pi), jetzt beide Seiten hoch drei

x=1/8 e^(-3*i*pi)

Behalt man den Phasenfaktor -3*pi bei, so kann man die Probe korrekt durchführen. Jetzt kommt mein aber:

1. Ich kann zu den -3*pi beliebige ganzzahhlige Vielfache von 6*pi addieren/subtrahieren und das Ergebnis bleibt das gleiche bei der Probe. Soweit meinetwegen ok, da ich nur um vielfache von 2 pi eine Phasenverschiebung durchführe.

2. Führe ich jedoch eine Phasenverschiebung um z.B. 2pi durch, d.h. x=1/8*e^(-i*pi), so stimmt das Ergebnis nicht mehr. Allerdings hält mich niemand davon ab das zu tun, wie ich oben geschrieben habe. Das ist für mich das Problem an dieser Aufgabe.

 

[Student82]

Ich schließ mich hier mal an.
Kann mir kurz jemand in einfachen Sätzen sagen wie ich beim Simplexverfahren die Zeile bestimme mit der ich starte? Ist schon ne weile her bei mir und stehe da grade auf dem Schlauch.

 

[Helios]

Ist bei mir schon gut 18 Jahre her, seit ich eine Simplex-Tabelle berechnet habe (und das meiste leider auch vergessen :crying. Müsste direkt mal meine Skripte und Bücher hervorholen und nachlesen, wie der Simplex-Algorithmus gelöst wird.

Aber google doch mal. Da findest Du eine Unmenge von Beispielen, die Deiner Frage Antwort leisten.


Hier noch der Weg, wie das Pivot-Element bestimmt wird:

Das Pivotelement muß folgende Kriterien erfüllen:
(a) Das Pivotelement steht immer in einer Spalte mit einer negativen Zahl
in der ersten Zeile.
(b) Erfüllen mehrere Spalten dieses Kriterium, so ist die Spaltenwahl beliebig
(beachte nächstes Kriterium).
(c) Das Pivotelement ist grösser als Null.
(d) Sollten mehrere Elemente grösser als Null sein, so wird das Element
genommen, daß bei Division von der Ergebnisspalte durch sich den kleinsten
Quotienten hat.

LG Uwe

 

[Student82]

Danke Helios, bin mittlerweile auch selber drauf gekommen das ich vorher den Quotienten ermitteln muss

 

[Helios]

Gern geschehen... obwohl Du ja selbst darauf gekommen bist .

Beste Grüsse und noch viel Spass beim "Simplexifizieren" !

Uwe

P.S.: ich hab' Graphentheorie nie richtig gemocht, obwohl sich damit viele interessante Probleme lösen lassen.

 

[Student82]

Naja ich benutz das Zeugs zur Produktionsprogrammplanung, ne graphische Lösung ist mir da auch Lieber (geht meistens auch bei den Paar Variablen) allerding mag das mein Prof nicht da darfst dan händisch erstmal % Itearationen machen bei 4 Verscheidenen Produkten und 10 Nebenbedingungen

 

[Helios]

Alles klar . Hab's nur damals im Studium belegen müssen, aber seitdem nie wieder gebraucht .

Aber schlimm, was man alles vergisst, wenn man's mal für eine längere Zeit nicht braucht :whistling: (so geht's zumindest mir ).

LG Uwe

 

[gatasa]

das ist normal. mit dem, was ich vergessen habe seit dem ich vor mehr als 30 jahren von der penne gegangen bin, könnte man ganze bibliotheken füllen.

gruß in't huus

gatasa

 

[Helios]

Gut zu wissen, dass ich da nicht alleine bin, sondern in guter Gesellschaft !

LG Uwe