1. Was nicht möglich ist, ist eine "Rechnung" im Sinne des § 14 UStG. Diese können (und müssen!) nur Unternehmer ausstellen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Rechnung im Abschnitt: "Rechnung im deutschen Umsatzsteuerrecht"
2. Ein Schuldner kann nach Zahlung eine Zahlungsbestätigung/Quittung fordern.
http://dejure.org/gesetze/BGB/368.html
Eine "Quittung" bestätigt i.E. lediglich, dass eine Forderung durch Zahlung erloschen ist.
3. Was hier gewünscht ist, ist, dass ein "Kauf- und Zahlungsnachweis" ausgestellt wird, so dass das Finanzamt nachvollziehen kann, was der Steuerschuldner gekauft und gezahlt hat und nun steuerlich geltend machen will.
Wie das Kind nun üblicherweise genannt wird, hängt im Wesentlichen davon ab, auf welchen Zeitpunkt man abstellt. Das ist dem Finanzamt bei einem Kauf von Privat aber auch egal, wenn das aus dem Dokument hervorgeht, was nachgewiesen werden soll.
Vor Zahlung (Rechnungsdatum!) nennt man es auch unter Privatleuten "Rechnung", d.h. ein Dokument, das eine detaillierte Aufstellung über eine Geldforderung für eine Warenlieferung oder eine sonstige Leistung enthält (Definition siehe Wikipedia). Es bietet sich an "Betrag dankend erhalten am.... Unterschrift" unten anzufügen, damit klar ist, dass die Barmittel auch an den Verkäufer abgeflossen sind (das soll ja steuerlich geltend gemacht werden!). USt/MwSt darf nicht ausgewiesen werden.
Hinterher stellt man üblicherweise eine "Quittung" über die Zahlung aus. Die kann und sollte man natürlich auch mit dem "Zweck" der Quittung (Kaufgegenstand, Höhe der erloschenen Forderung etc.) anreichern.
Ich bevorzuge die Überschrift "Rechnung und Zahlungsbestätigung über Kauf von Privat", wenn der Käufer unbedingt das Wort "Rechnung" lesen will
Viele Grüße,
Cunni