Mathematisches Problem

[TobD]

Guten...


Und zwar hab ich von unserem Mathe Prof. eine Aufgabe gestellt bekommen, ich soll beweisen das Jede reelle Zahl ein vielfaches besitzt das nur aus nullen und einsen besteht! Bsp: 3 => 111 (=37 * 3)
Als Ansatz hat er uns Division mit Rest genannt, aber ich steh grad echt aufn schlauch... es hat noch ein wenig zeit, aber es wäre nett wenn mir da mal jemand nen tipp geben könnte...



Danke

 

[hha81667]

Wende Dich mal an Helios, der ist Mathematiker und hat hier schon dem einen oder anderem auf die Sprünge geholfen

 

[fishmac]

Floating Point Darstellung

 

[Evilandi666]

Einfach alle Zahlen Mal 0 nehmen, dann bleibt nur zu zeigen dass 0 ein Vielfaches jeder Zahl ist :facepalm:

Eine ernsthafte Lösung fällt mir auch nicht ein - mir fiel spontan der Chinesische Restsatz ein, der ist bei so Rest-Spielchen-Tricks-Knobel-Dingern meist immer am Start, aber spontan bringt mich das nicht auf eine Idee.

 

[Schnitzel2k8]

Guten... Und zwar hab ich von unserem Mathe Prof. eine Aufgabe gestellt bekommen, ich soll beweisen das Jede reelle Zahl ein vielfaches besitzt das nur aus nullen und einsen besteht! Bsp: 3 => 111 (=37 * 3) Als Ansatz hat er uns Division mit Rest genannt, aber ich steh grad echt aufn schlauch... es hat noch ein wenig zeit, aber es wäre nett wenn mir da mal jemand nen tipp geben könnte... Danke

Sicher, daß von reellen Zahlen die Rede war? Ich vermute rationale, ganze oder natürliche Zahlen.

 

[Evilandi666]

Sicher, daß von reellen Zahlen die Rede war? Ich vermute rationale, ganze oder natürliche Zahlen.

Hab ich auch da stehen gehabt, bis ich es rauseditiert habe, v.a. mit dem Grund das Rest bei reelen Zahlen ja irgendwie nicht mehr so sinnig ist.

Aber warum ichs dann wieder verworfen hab weiß ich nicht mehr, hatte aber irgendeinen Grund warum es doch Sinn machte

 

[buddabrod]

Ich würde so auf den ersten Blick versuchen, eine Induktion über die entsprechenden Restklassen zu machen, vielleicht führt das zum Ergebnis?

Wenns Müll ist -> einfach nicht beachten Ich steh mit solchen Sachen noch im Stellungskrieg..

 

[Evilandi666]

Ich habs auch schon gestern mit einer Induktion versucht, wenn man in den natürlichen Zahlen bleibt. Nur man hat dann das Problem, dass wenn man weiß das n*k1 = x1 € {1,0}* ist, man davon ausgehend nicht darauf kommt dass es zwangsläufig auch (n+1) * k2 = x2 € {1,0}* gibt. Grr!

(Achja, {1,0}* ist die Sprache, die alle Zahlen bestehend aus 1 und 0 beinhaltet, € = Element von).

Ist aber vermutlich auch total falscher Ansatz.

 

[horatio]

Wenn man den Speiß umdreht, heißt das ja, dass jede Zahl n € {0,1}* Ganzzahlig teilbar ist.
Für die mit letzter Stelle 0 ist kein Thema, das sind gerade zahlen.

Das war meine Hälfte, wer die andere?

ne, könnt ihr knicken. Ist ja keine bijektive Aussage....

 

[Helios]

Habe heute mal einen Kollegen angefragt, ob er eine Beweisführung wüsste. Er musste abwinken. Geht ihm gleich wie mir. Zahlentheorie ist nicht seine und meine Stärke. Habe noch einen anderen Kollegen angeschrieben, mit der Hoffnung, dass er einen Lösungsweg erarbeiten könnte. Bleibe an dem Problem dran.

LG Uwe

 

[tuxor1337]

Sicher, dass es um reelle Zahlen im Allgemeinen und nicht nur um natürliche (ganze und rationale sind analog) Zahlen geht?

 

[Helios]

Es geht um natürliche Zahlen... da haste Recht. Soviel noch zur Information.

 

[Helios]

Hier nochmals die Aufgabe:

Zu zeigen ist: Für eine beliebige natürliche Zahl m gilt:
Es gibt unendlich viele n€N, die in ihrer Dezimaldarstellung nur aus Nullen und Einsen bestehen und Vielfache von m sind.

n: beliebige natürliche Zahl
N: Menge aller natürlichen Zahlen
€: "Ist Element von"-Symbol

Grüsse,
Uwe

 

[tuxor1337]

Ich denke ich habe eine Lösung:

Betrachte mal die m verschiedenen Zahlen, die nur aus genau 1, 2, 3, ... , m Einsen bestehen, also 1, 11, 111, 1111, ...

Überleg dir jetzt, wie viele Reste es modulo m gibt => Schubfachprinzip!

EDIT: Dass es unendlich viele sind, ist klar, weil man ja - sobald man so ein Vielfaches hat - beliebig häufig mit 10 multiplizieren kann.

 

[Daniel_X61]

Wer selbst auf die Lösung kommen möchte sollte diesen Link nicht anklicken, aber ich kenne die Fragestellung und hatte bereits danach "gegoogelt"...

http://matheraum.de/forum/Dezimaldarstellung_nur_0_und_1/t170238

viele Grüße (auch wenn icht nicht selbst drauf gekommen bin... ;-))

Daniel

 

[Evilandi666]

Neue Idee, dir mir grad kam:

Die rationalen Zahlen Q ohne 0 sind eine (abelsche) Gruppe mit der Multiplikation als Verknüpfung und dem neutralen Element 1.

Dies bedeutet unter anderem dass sie für jede Zahl q € Q ein inverses Element q^(-1) beinhalten für das gilt:
q * q^(-1) = 1

Somit lässt sich jede Zahl auf die 1 abbilden wenn man sie mit ihrem inversen multipliziert.

Die reellen Zahlen bilden mit der Addition und Multiplikation einen Körper, was u.a. beinhaltet dass die reellen Zahlen ohne 0 mit der Multiplikation eine (abelsche) Gruppe bilden.

Somit gilt das auch für die reellen Zahlen.

Die 0 wird zwar ausgenommen, weil logischerweise 0 * x = 1 , x € Gruppe nicht geht, aber die 0 ist ja direkt als Ausnahme eine Lösung, genau wie die 1 es auch ist.

(1) Das ist natürlich alles leicht betrogen da natürlich die Frage ist insoweit man 1 als vielfaches aller rationalen/reellen Zahlen bezeichnen würde. Wikipedia definiert Vielfaches nur auf ganzen Zahlen, dort wird sogar die 0 als vielfaches von jeder Zahl beschrieben.

Gehen tut das übrigens nicht für natürlichen Zahlen und für ganze Zahlen, die bilden keine Gruppe auf der Multiplikation.

Somit ist es eigentlich gezeigt. (sofern man (1) akzeptiert und der TE wirklich nicht natürliche oder ganze Zahlen gemeint hat)

Edit: Ach jetzt gibts ja schon die Lösung grr :cursing:

 

[Daniel_X61]

Einfach nicht drauf klicken!

hatte mir an der Aufgabe schon einmal den Kopf zerbrochen und selber darauf zu kommen ist doch auch schöner! :thumbup:

 

[Helios]

Hallo Tobd,

wie hat sich die ganze Problematik nun gelöst? Hat Dir Dein Prof einen entsprechenden Lösungsweg aufgezeigt? Falls ja, beschreibe diesen doch bitte kurz.

LG Uwe